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数学史上的第四次危机:无限循环小数悖论(0.999...=1)

来源:未解之谜网时间:2018-12-05 19:31:10编辑:最记录: 手机版

说到数学史上三大重要危机,大家应该都有所耳闻。但是说到第四次可能很多人都摸不着头脑,实际上第四次危机爆发时间至今已经20多年了,不过当时因为网络不发达的缘故,所以不为人所知。

数学史上的第四次危机

第四次数学危机准确来说是数论,主要是说数论的研究对象不仅仅是数。假如有一门学科分别研究:人、树、花,那么这门学科叫花学,相应理论称为花论,实际上这并不合理,主要讨论的还是第三次数学危机,有关集合论的相关问题。

集合的类名用集合中的元素命名实际上并不十分合理,虽然强行命名没有太大的关系,但是有些地方还是比较奇怪。

无限循环小数悖论

无限循环小数是小学数学中的一些知识,在很多时候会出现除不尽的情况,比如

1&pide;9 = 0.111111…(数字1无限循环)

1&pide;3 = 0.333333…(数字3无限循环)

1&pide;1.3 = 0.769230769230769230…(数字串769230无限循环)

无限循环小数具有特殊的性质:

(1)它的循环体至少有一位数字;

(2)它没有最后一位,永远写不到头。

无限循环小数0.999…更是奇怪。现有的数学体系既能证明它等于1,又能证明它不等于1。

我们首先证明无限循环小数0.999…等于1。

数学课本上写着:无限循环小数可以转化为分数

0.111… = 1/9 (1)

两边同时乘以9,得

0.999… = 9/9 (2)

故有

0.999… = 1 (3)

证毕。

现在,我们再证明无限循环小数 0.999… 不等于1。

设 n 是无限循环小数0.999…中9的个数,根据数学归纳法

n = 1时,0.9 ≠ 1成立;

n = 2时,0.99 ≠ 1成立;

n = 3时,0.999 ≠ 1成立;

……

n = ∞时,0.999… ≠ 1成立;

于是

0.999… ≠ 1 (4)

证毕。

这两种办法都是现在数学中比较严谨的证明方法,但是得出的结论却截然不同,互相矛盾,这一悖论被称为“无限循环小数悖论”。这一悖论的出现严重影响了当代数学,并且带来了比较严重的危机,甚至给摧毁当代数学体系。

在人类数学的发展中,一共出现了三次比较严重的危机,每一次都为数学带来了更多的发展,可以预见经过这次悖论,数学将更加发展进步。

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